Der goldene Schnitt
Was ist der goldene Schnitt?
Der goldene Schnitt ist ein Verhältnis, das in der Mathematik, Architektur, Kunst und Naturwissenschaften verwendet wird. Es beschreibt das Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem der kleinere Teil zum größeren im selben Verhältnis steht, wie der Größere Teil zum Ganzen. Das Teilungsverhältnis wird mit dem griechischen Buchstaben φ (Phi) bezeichnet. Eine Strecke der Länge 1 teilt der goldene Schnitt ungefähr bei 0,618. Von den so entstandenen zwei Teilen wird der größere Teil Major genannt und der kleinere Minor.
Warum heißt es "goldener" Schnitt?
Der Name bezieht sich zum einen auf die Tatsache, dass dieses Teilungsverhältnis in der Mathematik als besonders harmonisch und ästhetisch angesehen wird. Zum anderen kommt der goldene Schnitt in der Architektur, der Kunst und der Natur häufig vor und wird daher als besonders "golden" oder "ideal" betrachtet. Alternative Bezeichnungen sind stetige Teilung, Göttliche Teilung, Fibonacci Verhältnis oder Göttliche Proportion (ital. 'Divina proportione').
Wo kommt der goldene Schnitt vor?
Der goldene Schnitt kommt in vielen Bereichen der Natur und der Kunst vor.
- In der Biologie taucht der goldene Schnitt in der Form von Pflanzen und Tieren auf. Zum Beispiel die Anordnung von Blättern an einem Zweig, oder den Proportionen des Menschen
- In der Mathematik ist der goldene Schnitt unter anderem elementarer Bestandteil der Fibonacci-Zahlenfolge
- In der Malerei und der Fotografie wird er verwendet, um Bildkompositionen auszugleichen und interessanter zu gestalten
- In der Architektur wird er oft verwendet, um Proportionen von Gebäuden und Innenräumen zu gestalten
Daneben gibt es viele weitere Beispiele zum Vorkommen des goldene Schnitts. Er wird oft als ästhetisch ansprechend und harmonisch betrachtet.
Der goldene Schnitt lässt sich auch in menschlichen Proportionen finden. So befindet sich der Bauchnabel in etwa auf der Höhe des goldenen Schnitts der Körperhöhe
Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen.
Goldener Schnitt und Proportion
Eine Proportion ist das Größenverhältnis zweier Teile. Die Besonderheit der Proportion des goldenen Schnitts kann gut im Vergleich zu anderen Größenverhältnissen gezeigt werden. Dafür wird der goldene Schnitt mit der Halbierung und der Viertelung verglichen, zwei weiteren häufig verwendeten Proportionen.
Halbierung
Wird eine Strecke von 1 genau in der Mitte geteilt, entstehen zwei gleich große Teile. Jedes der beiden Teile ist genau halb so lang wie die ursprüngliche Strecke. Ihre Länge beträgt jeweils 0,5 (schwarz/graue Streifen).
Goldener Schnitt
Das Besondere am goldenen Schnitt ist, dass das Größenverhältnis des kleineren Teils zum größeren genauso groß ist, wie das des größeren Teils zu der ursprünglichen Strecke. Das heißt, der orange Teil verhält sich zum blauen so, wie der blaue Teil zur Summe aus blau und orange.
Rechnerisch ergibt sich:
blau: ~0,618
orange: 1 - 0,618 = ~0,382
orange zu blau: 0,382 / 0,618 = 0,618
blau zu schwarz: 0,618 / 1 = 0,618
Orange zu blau und blau zu schwarz, haben zueinander also dieselbe Proportion.
Proportion der Unendlichkeit
Die Teilung im goldenen Schnitt kann unendlich fortgesetzt werden. Jeder Teil hat dann zu seinen Teilen dieselbe Proportion. Daher kann auch gesagt werden, der goldene Schnitt ist die Proportion der Unendlichkeit.
Statt der Teilung der Strecke ist auch eine Vergrößerung möglich. Dann muss diese mit 1+0,618 = 1,618 multipliziert werden. Insgesamt entsteht so ein großes Ganzes, dessen Teile als besonders harmonisch erscheinen, weil sie zueinander gleich sind. Das ist nur bei einer Teilung im goldenen Schnitt der Fall.
Viertelung
Zur Verdeutlichung eine weitere Proportion, die häufig in der Architektur verwendet wird, die Viertelung (rot/ grüne Streifen).
Wird eine Strecke bei einem Viertel geteilt, ergibt sich rechnerisch:
rot: ~0,25 (1/4)
grün: 1 - 0,25 = 0,75 (3/4)
rot zu grün: 0,25 / 0,75 = 0,33333 (1/3)
grün zu schwarz: 0,75 / 1 = 0,75 (3/4)
Wie bei der Halbierung haben auch hier die Teile zueinander nicht das gleiche Größenverhältnis, wie der größere Teil zum Ganzen.
Varianten des goldenen Schnitts
Goldenes Rechteck
Bei einem goldenen Rechteck stehen die Seitenlängen im Verhältnis des goldenen Schnitts. Es entsteht, wenn der Minor eines goldenen Schnitts um 90° gedreht wird.
Ein goldenes Rechteck kann stets in ein Quadrat und ein kleineres goldenes Rechteck zerlegt werden (Mouseover/Tap).
Goldene Spirale
Eine goldene Spirale entsteht, wenn sich der Radius eines Kreises beim Drehen um den Mittelpunkt alle 90° um den Faktor des goldenen Schnitts verkürzt (Mouseover/Tap). Daher ist sie immer von einem goldenen Rechteck begrenzt.
Eine gängige Annäherungskonstruktion ist die vielfache Zerlegung eines goldenen Rechtecks in immer kleinere goldene Rechtecke. In die dabei entstehenden Quadrate wird jeweils ein Viertelkreis in der Art eingezeichnet, dass er einen bestehenden Viertelkreis fortführt (gelbe Kurve).
Alle goldenen Rechtecke teilen sich nur zwei Diagonalen (gestrichelte Linien). Deren Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Spirale. Die Spirale kann statt von außen zum Mittelpunkt hin auch vom Mittelpunkt nach außen gezeichnet werden, d.h. immer weiter vergrößert werden.
Goldener Winkel
Der goldene Schnitt lässt sich nicht nur aus Strecken bilden. Er kann auch auf den Kreis angewendet werden. Der goldene Winkel entsteht, wenn ein Vollkreis von 360° mit der goldenen Zahl multipliziert wird. Dabei entstehen zwei Winkel: 360° * 0,618 = ~ 222,5° und 360° - ~222,5° = ~137,5°. Der kleinere der beiden Winkel wird dabei als goldener Winkel bezeichnet (orange). Nicht nur die Winkel, auch die Längen der so entstandenen Kreisbögen stehen zueinander im goldenen Schnitt (Mouseover/Tap).
Pentagon, Pentagramm und goldene Dreiecke
Pentagon (altgr. 'Fünf (Eck)winkel') ist die altgriechische Bezeichnung für ein 5-Eck. Meist ist damit jedoch ein regelmäßiges 5-Eck gemeint, das heißt eines, in dem alle Seiten gleich lang sind.
Werden die Eckpunkte mit Diagonalen verbunden, entsteht ein Pentagramm (altgr. 'Fünf Linien'), auch fünfzackiger Stern genannt.
Wichtige Winkel
Vor allem für Bildkompositionen von Gemälden werden häufig die Winkel des regelmäßigen 5-Ecks genutzt:
- 72°, der Mittelpunktwinkel des 5-Ecks
- 108°, der Innenwinkel des 5-Ecks (rechts) und der äußere Winkel zwischen den Zacken des Pentagramms (links)
- 36°, der Innenwinkel der Zacke des Pentagramms
Goldene Dreiecke
In einem regelmäßigen Fünfeck entstehen goldene Dreiecke. Das sind gleichschenklige Dreiecke bei denen die Längen zweier Seiten zueinander im goldenen Schnitt stehen. Es kann nur exakt zwei Formen geben (Mouseover/Tap).
- Innenwinkel Variante 1 (blaues Dreieck): 36°, 72° und 72°
- Innenwinkel Variante 2 (oranges Dreieck): 108°, 36° und 36°
Mythos des 5-Ecks
Ein regelmäßiges 5-Eck kann nur in Kenntnis des goldenen Schnitts konstruiert werden. Dafür dürfen in der klassischen Geometrie nur Zirkel und ein unmarkiertes Lineal verwendet werden.
In der Antike und im Mittelalter war die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und damit auch der goldene Schnitt nur einigen wenigen bekannt. Fünfecke galten daher lange Zeit als mystische Geheimzeichen, die nur die verwendeten, die Zugang zu Büchern und Wissen hatten.
Beispiele
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I Börsencharts und Fibonacci Retracement
coming soon
II Mekka und der goldene Schnitt der Pole
Mekka ist die Geburtstadt des Propheten Mohamed. Dort befindet sich das zentrale Heiligtum des Islam, die Kaaba. Die geographische Lage von Mekka ist eng mit dem goldenen Schnitt verbunden.
Allgemeine Erklärung von Breitengrad und Längengrad
Jeder Ort auf der Welt ist durch Angabe von Breitengrad (Latitude) und Längengrad (Longitude) eindeutig bestimmbar.
Für die Bestimmung des Breitengrades wird eine Linie vom Mittelpunkt der Erde zum Äquator gedacht. Dieser Winkel wurde auf Null festgelegt. Nord- und Südpol liegen nun 90° ober- oder unterhalb des Äquators (nördliche bzw. südliche Breite).
Für die Bestimmung des Längengrades wird in der Draufsicht der Erde eine Linie vom Nord- oder Südpol zum Äquator gedacht. Der Winkel Null wurde 1884 mit dem Nullmeridian festgelegt und verläuft durch Greenwich (England). Jeder Ort auf der Erde befindet sich nun bis zu 180° östlich oder westlich von diesem Ort.
Da der Nullmeridian willkürlich festgelegt wurde und ebensogut durch Tokio oder San Francisco verlaufen könnte, ist der Längengrad im Zusammenhang mit der geographischen Position Mekkas nicht relevant. Anders aber der Breitengrad, der durch Nord- und Südpol der Erde natürliche Bezugsgrößen hat.
Die geographische Breite von Mekka
Mekka befindet sich auf 21,25° nördlicher Breite (grüne Linie). Der Abstand von 1 Breitengrad an der Erdoberfläche ist konstant und beträgt ca. 111,7km.
Der Abstand von Mekka zum Südpol (blauer Punkt) beträgt 90°+21,25° * 111,7km = 12.426,63km (blaue Linie)
Der Abstand von Mekka zum Nordpol (oranger Punkt) beträgt 90°-21,25° * 111,7km = 7.679,38km (orange Linie)
Beide Strecken stehen zueinander im Verhältnis des goldenen Schnitts: 7.679,38km / 12.426,63 = ~ 0,618
III Blüten und der goldene Winkel
Die Spiralen des goldenen Winkels und die Fibonacci Folge
Um einen Mittelpunkt wird ein Winkel von 137,5° gezogen. Der Punkt wird markiert. An diesen ansetzend wird vom Mittelpunkt aus der Winkel erneut gezogen usw. Bei jedem neuen Winkelzug wird der Radius um ein beliebig kurzes Stück verlängert.
Die Zahlen 8, 13 und 21 sind Zahlen der Fibonacci Folge. Wird jeder 8., 13. oder 21. Winkel markiert, bilden diese Markierungen ein spiralförmiges Muster. Das spiralförmige Muster tritt nur bei Fibonacci Zahlen auf.
Vorkommen in der Natur
Alle Korbblütlergewächse zeigen den goldenen Winkel. Die Spiralen sind in den Blüten deutlich zu erkennen. Eine solche Verteilung der Blütenblätter sorgt dafür, das auch dicht hinteinander stehende Blütenblätter die maximal mögliche Fläche für die Belichtung erhalten (Mouseover/Tap).
Zu den Korbblütlern gehören z.B. Sonnenblumen, Chrysanthemen, Kamille, Löwenzahn oder auch Kopfsalat.
Der Blütenkorb im Bildzentrum zeigt das spiralförmige Muster des goldenen Winkels
Die Blütenblätter bilden die Spirale des goldenen Winkels
Der goldene Schnitt in der Kunst
Es ist wichtig zu erwähnen, dass der goldene Schnitt nur eine von vielen Proportionen ist, die in der Kunst verwendet werden, wenn gleich auch die aus mathematischer Sicht schönste. Daneben werden viele weitere Proportionen wie Drittelungen, Viertelungen usw. verwendet, noch dazu fast immer im selben Kunstwerk. Schließlich soll durch eine möglichst vielfältige und spannend arrangierte Komposition das Interesse an dem Kunstwerk aufrechterhalten werden.
Der goldene Schnitt in der Malerei
Der goldene Schnitt wird seit dem Mittelalter in Gemälden verwendet. Er lässt sich in der Bildkomposition, z.B. in der Anordnung der Figuren aufzeigen. Der berühmte Maler Leonardo da Vinci hat sicherlich die beeindruckensten Kompositionen erschaffen. Er gilt als der beste Maler aller Zeiten und so wundert es nicht, dass auch er den goldenen Schnitt in seinen Gemälden verwendet hat. Oftmals ist zu lesen, der goldene Schnitt wäre hauptsächlich von Renaissance Malern wie Leonardo, Raffael oder Albrecht Dürer verwendet worden. Allerdings lässt sich der goldene Schnitt über alle neuzeitlichen Epochen hinweg als Teil der Bildkomposition hervorragender Künstler aufzeigen. Damit stellten sie unter Beweis, das ihre Gemälde nicht nur einer göttlichen Eingebung folgten, sondern sie zugleich auch das Werk mathematisch gebildeter Menschen sind.
Das Gemälde ist als goldenes Rechteck angelegt. Der goldene Schnitt verbindet die Augen der Madonna (lange Diagonale der goldenen Spirale), des Johannesknaben links (goldener Schnitt der Bildhöhe) und des Jesusknaben rechts (goldene Spirale)
Der goldene Schnitt teilt das Gemälde der Höhe nach und verläuft auf der Höhe der Säulenfüße im Hintergrund. Der Major wird erneut im goldenen Schnitt geteilt und verläuft durch die Augen der Mona Lisa, deren linkes Auge sich zudem genau in der Bildmitte befindet (rote Linie)
Das linke Ende des Spruchbandes formt eine goldene Spirale
Masaccios Fresko gilt als eines der ersten Gemälde mit korrekt dargestellter Zentralperspektive. Es wird von einem goldenen Rechteck umspannt. Wird die Höhe dieses Rechtecks im goldenen Schnitt geteilt führt dies zu den Kapitellen der Säulen des vorderen Bogens (obere orange Horizontale). Der goldene Schnitt der Höhe dieser Säule führt zu den Kapitellen des hinteren Bogens (untere orange Horizontale). Der Querbalken des zentralen Kreuzes befindet sich im goldenen Schnitt der Höhe des vorderen Bogens (Mouseover/Tap)
Manet gilt als einer der Wegbereiter der modernen Malerei.
In dem Gemälde verläuft der goldene Schnitt der Bildbreite durch das rechte Auge des Herren (orange Vertikale). Der goldene Schnitt ist nicht die einzige Proportion in dem Gemälde, z.B. verläuft die Hälfte der Bildhöhe exakt entlang der Banklehne (Mouseover/Tap).
In Bezug auf die Bildhöhe verläuft der goldene Schnitt am oberen Rand zweier Vasen im Hintergrund (untere orange Horizontale, blaue und beige Vase). Wird der Major erneut im goldenen Schnitt geteilt, verläuft er durch das linke Auge der Dame (obere orange Horizontale).
Der so entstandene Zusammenhang von Vase am linken Bildrand und ihrem linken Auge erinnert stark an den goldenen Schnitt in der Mona Lisa (linker Säulenfuß und linkes Auge). Das führt zu der Vermutung die zwei Gemälde könnten auch hinsichtlich der Bildidee in Verbindung stehen, was allerdings weiter untersucht werden sollte. Jeder berühmte Maler hat sich mit Leonardo auseinandergesetzt, weil er unter anderem aufgrund seiner geometrischen Kenntnisse im Hinblick auf die Bildkompositionen bis heute als der einfallsreichste Maler gilt. Dass Manet Elemente aus Leonardo-Gemälden zitiert, wird bei einem weiteren Gemälde deutlich, der 'Blonde Woman with Bare Breasts', das eine bissige Parodie auf Leonardos Dame mit dem Hermelin darstellt
Rothko war ein abstrakter Maler und Wegbereiter der Farbfeldmalerei.
Gedanklich teilte er das Gemälde vertikal in 24 Einheiten (schwarz/weißer Streifen). Nach oben und unten haben die Farbfelder einen Abstand von 1/24 bzw. 2/24 (Mouseover Tap). Auf das untere schwarze Farbfeld aufsetzend (weiße Horizontale), werden die zwei darüberliegenden Farbfelder in einer Höhe von 13/24 im goldenen Schnitt bei 5/24 geteilt (orange Horizontale). Somit ist das obere schwarze Farbfeld 8/24 hoch (blau). 5, 8 und 13 sind Fibonacci Zahlen
Der goldene Schnitt in der Architektur
Der goldene Schnitt wird seit der Antike in der Architektur verwendet. Bestimmte Pyramiden in Ägypten sollen diese Proportion aufweisen, z.B. das Verhältnis der schrägen Seitenlänge zu der Hälfte der Basisseite. Da aber die Pyramiden heute stark zerfallen sind, und ihre ursprünglich meterdicken Verkleidungen aus weißem Kalkstein weitestgehend abgetragen wurden, lassen sich die ursprünglichen Maße nicht mehr genau genug bestimmen, um die Verwendung des goldenen Schnitts zweifelsfrei nachweisen zu können. Als älteste gesicherte Belege zur Verwendung des goldenen Schnitts in der Architektur gelten die Bauten der griechischen, sowie der römischen Antike.
Das Parthenon wurde um 450 v.Chr. anlässlich des Endes der Perserkriege errichtet und der Schutzgöttin von Athen gewidmet, Athene. Kurz nach dem Bau des Tempels wurde der bedeutende Philosoph Platon in Athen geboren (um 427 v. Chr.). In seinen mathematischen Schriften äußert er sich u.a. zum goldenen Schnitt.
Die Fotografie gibt die Proportionen der Ostfassade des Parthenons leicht verfälscht wieder. Grundsätzlich ist die Ostfassade als goldenes Rechteck angelegt, wobei die Höhe des Fundaments mitgerechnet wird. Die rekonstruierbare Silhouette des teils zerstörten Dachs wird hier mit schwarzen Linien angedeutet. Das Dach setzt auf den Kapitellen der Säulen auf, die sich im goldenen Schnitt der Gebäudehöhe befinden.
Gustav Eiffel, der ausführende Architekt des 1889 errichteten Turms, zeigt diese maßstabsgerechte Skizze in seinem 1900 erschienenen Buch "La tour de trois cents mètres" (frz. 'Der Turm der 300 Meter').
- das Fundament hat zur ersten Plattform denselben Abstand, wie die erste Plattform zur zweiten (rechter schwarz/weißer Streifen)
- die vier Säulen des Turms laufen in einer markanten Ringfassung zusammen. Sie markiert die Hälfte der Strecke von der zweiten Plattform bis zur dritten Plattform bei der Turmspitze (linker schwarz/weißer Streifen)
- insgesamt wird die Höhe des Turms bei der zweiten Plattform im goldenen Schnitt geteilt (blau/orange Vertikale)
Gustav Eiffel zeichnete in der Turmspitze ebenfalls Proportionen ein, unter anderem legte er die Maße der Fahnenstange fest. Da die Spitze des Turms häufiger modernisiert wurde, ist seine ursprüngliche Idee jedoch im Laufe der Zeit verlorengegangen.
Interessant ist, wie Eiffel mit dem Kreisbogen im unteren Teil des Turms spielt. Seine Höhe entspricht fast einem goldenen Schnitt in Bezug auf den Abstand von Fundament und erster Plattform (grün/roter Streifen). Tatsächlich beträgt sie aber 2/3, also ~0,666 statt 0,618
- dennoch findet sich in diesem Bereich ein goldener Schnitt: Die Summe der Breite der Standfüße des Turms ist ein goldener Schnitt zum Durchmesser des Kreisbogens (blau/orange Horizontale). Wird die Strecke mittig geteilt, liegen zwei Strecken nebeneinander, die im goldenen Schnitt geteilt wurden (Mouseover/Tap)
- die erste Plattform ist die breiteste, die zweite Plattform genau halb so groß (schwarz/weiße Horizontalen). Anhand der Skizze ist nicht zu sagen, ob die dritte Plattform an der Spitze erneut halb so groß sein sollte, wie die zweite. Das Verhältnis beträgt in dieser Darstellung nur ~46% (statt 50%). Dasselbe gilt für das Verhältnis der Breite des Fundaments und erster Plattform, das dem goldenen Schnitt mit ~0,595 nur sehr nahe kommt (statt 0,618)
Abschließend kann festgestellt werden, dass der Eiffelturm wegen seinen schlichten Eleganz ein gelungenes Beispiel für überlegte Proportionierung ist. Es ist außerdem deutlich geworden, dass nicht allein der goldene Schnitt die Ästhetik der Komposition eines Kunstwerks verursacht. Sondern diese Form der Ästhetik entsteht im Zusammenspiel verschiedener Proportionen.
Die Frontfassade bildet ein goldenes Rechteck.
Um 1947 wurde das Gebäude unter Führung der beiden Stararchitekten Le Corbusier und Oscar Niemeyer entworfen.
Vor allem der Franzose Le Corbusier (1887-1965) wandte zeitlebens den goldenen Schnitt an, und entwickelte ein eigenes darauf basierendes Maßsystem, das er in vielen seiner berühmten Gebäude verwendete, den Modulor.
Der Brasilianer Oscar Niemeyer (*1907), war unter anderem der verantwortliche Architekt der öffentlichen Gebäude bei der Gründung von Brasilia, der Hauptstadt Brasiliens. Er starb 2012 im Alter von 104 Jahren.
Der goldene Schnitt in der Fotografie
Das Teilungsverhältnis des goldenen Schnitts (0,618 bzw. 1,618) liegt recht nah an einem anderen häufig verwendeten Teilungsverhältnis, dem Verhältnis von 2:3, also 2/3 (0,6666...).
Da 0,618, der Wert des goldenen Schnitts, in einem Augenblick schwer zu messen ist, die Fotografie aber die Kunst des Augenblicks ist, wird statt dem goldenen Schnitt meist die Drittelregel angewendet. Um also nicht 0,618 abmessen zu müssen, wird auf 2/3 bzw. 1/3 ausgewichen. Besonders hilfreich sind hierfür die Displays von Digitalkameras, wie z.B. Handys. Deren Displays zeigen im Fotomodus meist drei Felder neben- bzw. übereinander an, die Drittel. Um spannende Bildausschnitte zu erreichen, kann es hilfreich sein, die zu fotografierenden Objekte entlang dieser Drittellinien zu positionieren, statt direkt in der Mitte.
Die Drittelregel ist jedoch keine allgemeingültige Regel der Fotografie, da 2/3 und der goldene Schnitt nur zwei von mehreren möglichen Proportionen sind. In der professionellen Fotografie werden die Bilder analog zur Malerei aus mehreren Proportionen komponiert. Dazu werden z.B. in der künstlerisch wertvollen Porträtfotografie proportionierte Bildhintergründe, Mobiliar oder Accessoires u.ä. ausgewählt, die von einem festen Stativ aus fotografiert werden. Dadurch kann gewährleistet werden, dass das finale Bild insgesamt harmonisch proportioniert ist.
Geometrische Konstruktion
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IV Goldener Schnitt nach Euklid
Es gibt verschiedene Methoden den goldenen Schnitt zu konstruieren. Die bekannteste ist die des antiken Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr).
- Konstruktion eines Rechtecks aus zwei nebeneinanderliegenden Quadraten über der zu teilenden Strecke AB (der Übersichtlichkeit wegen wurde hier auf die Konstruktion ders Rechtecks verzichtet)
- Einzeichnen der Diagonale des Rechtecks
- Abtragen der Seitenlänge eines Quadrats auf der Diagonalen
- der andere Teil der Diagonale wird auf die ursprünglich gegebene Strecke übertragen (hellblaue Linie)
- dieser teilt die ursprüngliche Strecke im Verhältnis des goldenen Schnitts (gelber Punkt)
Das goldene Rechteck
Wird der Minor um 90° gedreht, entsteht ein goldenes Rechteck, das heißt die Seitenlängen stehen im Verhältnis des goldenen Schnitts (Mouseover, oranges Rechteck).
V Regelmäßiges Fünfeck
Der goldene Schnitt ist notwendig, um ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren. In einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang.
Gegeben ist eine Strecke AB, die im goldenen Schnitt geteilt wurde (Punkt D). Ebenso ist die Mittelsenkrechte der Strecke notwendig (gestrichelte Vertikale durch den Punkt M, der Übersichtlichkeit wegen wurde hier auf die Konstruktion der Mittelsenkrechten verzichtet).
Linker und rechter Eckpunkt des Fünfecks
- entsprechen den Eckpunkten der gegebene Strecke AB
Oberer Eckpunkt
- der Minor DB des goldenen Schnitts der gegebenen Strecke wird als Radius eines Kreises um D bestimmt. mit diesem Radius wird um D ein Kreis gezogen. Da wo er auf die Mittelsenkrechte der Strecke AB trifft, befindet sich der obere Eckpunkt des 5-Ecks (oberer blauer Punkt)
Rechter unterer Eckpunkt
- vom oberen Eckpunkt des 5-Ecks wird eine Linie durch den goldenen Schnitt von AB gezogen, also durch den Punkt D. Die Länge der Strecke AB wird auf diese Linie abgetragen. Es ergibt sich der rechte untere Eckpunkt F
Linker unterer Eckpunkt
- Um den Mittelpunkt M der gegebenen Strecke AB wird ein Kreis gezeichnet, dessen Radius so lang ist, wie der Abstand vom goldenen Schnitt D und dem Mittelpunkt M. Im linken Schnittpunkt dieses Kreises mit der gegebenen Strecke AB entsteht der Punkt C.
- Vom oberen Eckpunkt E des 5-Ecks wird eine Linie durch C gezogen. Die Länge der Strecke AB wird auf diese Linie abgetragen. Es ergibt sich der linke untere Eckpunkt G
Werden die fünf Eckpunkte miteinander verbunden, entsteht ein regelmäßiges 5-Eck (dunkelblaue Linien). Die fünf Diagonalen des 5-Ecks bilden einen fünfzackigen Stern. Diese Linien schneiden sich stets im goldenen Schnitt (hellblaue und orange Linien).
VI Goldene Spirale
Die goldene Spirale wird häufig in einer Annäherungskonstruktion dargestellt.
- Einzeichnen einer Strecke (unterste Horizontale)
- Teilen der Strecke im goldenen Schnitt (blau: goldener Schnitt Major, orange: goldener Schnitt Minor)
- vom goldenen Schnitt der Strecke wird ein 90° Winkel im Uhrzeigersinn gezogen. Die Länge der Strecke muss dem goldenen Schnitt Major der Ausgangsstrecke entsprechen
- diese Strecke wird nun ebenfalls im goldenen Schnitt geteilt, dabei muss der goldene Schnitt Minor am goldenen Schnitt der ersten Strecke anliegen (orange Linien)
- der Vorgang wird unendlich wiederholt (hier noch weitere sechsmal)
- in jedes der Quadrate wird ein Viertelkreis gezeichnet, so dass sich die Viertelkreise berühren
- Einzeichnen der zwei Diagonalen zur Bestimmung des Mittelpunktes der Spirale (Mouseover/Tap)
Die goldene Zahl
Die goldene Zahl gibt das Teilungsverhältnis des goldenen Schnitts an. Sie wird meist mit dem 21. griechischen Buchstaben φ (Phi) bezeichnet und hat den gerundeten Wert von 1,618. Die goldene Zahl ist eine irrationale Zahl und damit unendlich. Sie entsteht durch Addieren der Länge des Majors einer im goldenen Schnitt geteilten Strecke der Länge 1 und der Zahl 1, also ~0,618 + 1 = ~1,618.
Berechnung der goldenen Zahl
Der Zahlwert der goldenen Zahl ergibt sich aus der geometrischen Konstruktion des goldenen Schnitts nach Euklid und hat dort die Länge der Strecke AE (Abbildung links). Diese Länge kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, denn die Punkte ABC formen ein rechtwinklinges Dreieck.
Die Länge der Strecken AB und BC sind bekannt, da das Rechteck aus zwei nebeneinanderliegenden Quadraten besteht. Damit ist die Höhe des Rechtecks genau halb so hoch, wie es breit ist. Hier hat das Rechteck die Breite von 1, daher ist es 0,5 hoch.
Die Länge der Diagonale AC ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
AC2 = AB2 + BC2
AC = 12 + 0,52 = 1,25 = ~1,18
Die Länge der goldenen Schnitts ergibt sich durch Abtragen der Strecke AD auf AB.
Die Länge der Strecke AD ist bekannt durch AD = AC - DC, denn DC ist wie BC der Radius des Kreises um C und hat daher die Länge von 0,5.
Die Länge von AD und damit des goldenen Schnitts beträgt also:
1/φ = AC - DC = ~1,18 - 0,5 = ~0,618
Variante mit der Wurzel aus 5
Verwirrenderweise wird die Breite des Rechtecks häufig nicht mit 1, sondern mit 2 angegeben. Dadurch verändert sich auch die Höhe des Rechtecks von 0,5 zu 1. Dieselbe Rechnung mit den neuen Werten:
AC = 22 +12 = 5
AD = 5 - 1 = ~1,236
Um auf das ursprüngliche Zahlenverhältnis des goldenen Schnitts für ein Rechteck mit der Breite von 1 zu kommen, muss dieser Wert durch 2 dividiert werden (Mouseover/Tap). Zwar teilt die Strecke AE die Strecke AB im goldenen Schnitt, jedoch hat diese die Länge 2 und gesucht ist der goldene Schnitt der Länge 1. Folglich muss AE im Punkt M geteilt werden, was zu der gesuchten Größe von 0,618 führt (Mouseover/Tap, gelber Punkt). Rechnerisch ergibt sich folgendes:
AD = (5- 1) / 2 = ~0,618
Aus der geometrischen Überlegung heraus ist offensichtlich, dass diese Methode einen Schritt mehr benötigt. Dass sie dennoch die populärere Variante ist, kann nur dadurch erklärt werden, dass
1/φ = (5 - 1) / 2 angenehmer zu lesen ist, als
1/φ = 1,25 - 0,5 aus der vorherigen Rechnung
Darstellung der goldenen Zahl auf einem Zahlenstrahl von 0 bis 3. Es ist gut zu erkennen, dass φ sich aus 1 und dem Wert des goldenen Schnitts von 1 ergibt, der ungefähr bei 0,618 liegt.
Fibonacci Folge und Pascalsches Dreieck
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VII Die Fibonacci Folge
Die Fibonacci Folge ist nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (um 1170-1240) benannt. Die Zahlenfolge ergibt sich, wenn die letzten zwei bekannten Zahlen der Folge miteinander addiert werden und diese Summe der Folge hinzugefügt wird, beginnend mit Null und Eins.
Die Fibonacci Folge steht im unmittelbaren Zusammenhang zum Goldenen Schnitt, da das Ergebnis der Division zwei aufeinanderfolgender Zahlen dieser Reihe sich stetig dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts ~0,618 annähert.
| Rechnung | Fibonacci Folge | Teilungsverhältnis |
| 0 + 1 = 1 | 0,1 | 0/1 = 0 |
| 0 + 1 = 1 | 0,1,1 | 1/1 = 1 |
| 1 + 1 = 2 | 0,1,1,2 | 1/2 = 0,5 |
| 1 + 2 = 3 | 0,1,1,2,3 | 2/3 ≈ 0,666 |
| 2 + 3 = 5 | 0,1,1,2,3,5 | 3/5 = 0,6 |
| 3 + 5 = 8 | 0,1,1,2,3,5,8 | 5/8 = 0,625 |
| 5 + 8 = 13 | 0,1,1,2,3,5,8,13 | 8/13 ≈ 0,615 |
| ... | ||
| 89 + 144 = 233 | 0,1,1,...,144,233 | 144/233 ≈ 0,6180 |
VIII Pascalsches Dreieck
Die Bezeichnung Pascalsches Dreieck geht auf den Naturwissenschaftler Blaise Pascal zurück (1623-1662).
Zentrierte Darstellung
Dabei ergeben sich die Zahlen des Dreiecks derart, dass jede Zahl die Summe der zwei darüberliegenden Zahlen ist. Gibt es nur eine Zahl, ist die andere 0 (für die Zahlen am äußeren Rand des Dreiecks). Begonnen wird an der oberen Spitze des Dreiecks mit dem Setzen der Zahl 1.
Das Pascalsche Dreieck wurde in der zentrierten Darstellung hauptsächlich dazu benutzt, beliebige Potenzen von Binomen aufzulösen, z.B.
(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
1, 2 und 1 entsprechen den Zahlen der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks. Die Zahlen der darauffolgenden vierten Reihe (1,3,3,1) können für das Auflösen der dritten Potenz des Binoms (a+b) verwendet werden, also für (a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 und so weiter.
Linksbündige Darstellung
Das Pascalsche Dreieck kann auch linksbündig dargestellt werden (Mouseover). Dadurch werden die darin enthaltenen Zahlenfolgen besser ablesbar.
2. Spalte: die natürlichen Zahlen
3. Spalte: die Dreieckszahlen
4. Spalte: die Tetraederzahlen
Die Fibonaci Folge
Die Fibonacci Zahlenfolge ergibt sich aus der Summe der Zahlen, die auf einer Diagonale von 45° liegen, wenn das Dreieck linksbündig dargestellt wird (Mouseover/Tap).
Das größte Vergnügen ist die Erkenntnis
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