Der goldene Schnitt ist ein Verhältnis, das in der Mathematik, Architektur, Kunst und Naturwissenschaften verwendet wird. Es beschreibt das Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem der kleinere Teil zum größeren im selben Verhältnis steht, wie der größere Teil zum Ganzen. Das Teilungsverhältnis wird mit dem griechischen Buchstaben φ (Phi) bezeichnet und hat den gerundeten Wert von 1,618 (bzw. von 1/φ = ~0,618).
Eine Strecke der Länge 1 teilt der goldene Schnitt gerundet bei 0,618. Von den so entstandenen zwei Teilen wird der größere Teil Major genannt und der kleinere Minor. Der Unterschied zwischen dem Goldenen Schnitt und anderen bekannten Teilungsverhältnissen wird im Vergleich klarer. Hier am Beispiel von Halbierung und Drittelung.
Eine Strecke der Länge 1 teilt eine Halbierung bei 0,5. Die so entstandenen zwei Teile werden Hälften genannt.
Eine Strecke der Länge 1 teilt eine Drittelung bei ~0,33 und ~0,66. Die so entstandenen drei Teile werden Drittel genannt.
Der Name bezieht sich zum einen auf die Tatsache, dass dieses Teilungsverhältnis in der Mathematik als besonders harmonisch und ästhetisch angesehen wird. Zum anderen kommt der goldene Schnitt in der Architektur, der Kunst und der Natur häufig vor und wird daher als besonders "golden" oder "ideal" betrachtet. Alternative Bezeichnungen sind stetige Teilung, Göttliche Teilung, Fibonacci Verhältnis oder Göttliche Proportion (ital. 'Divina proportione').
Der goldene Schnitt kommt in vielen Bereichen der Natur und der Kunst vor.
Daneben gibt es viele weitere Beispiele zum Vorkommen des goldene Schnitts. Er wird oft als ästhetisch ansprechend und harmonisch betrachtet.
Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen.
Eine Proportion ist das Größenverhältnis zweier Teile. Die Besonderheit der Proportion des goldenen Schnitts kann gut im Vergleich zu anderen Größenverhältnissen gezeigt werden. Dafür wird der goldene Schnitt mit der Halbierung und der Dreiteilung verglichen, zwei weiteren häufig verwendeten Proportionen.
Wird eine Strecke von 1 genau in der Mitte geteilt, entstehen zwei gleich große Teile. Jedes der beiden Teile ist genau halb so lang wie die ursprüngliche Strecke. Ihre Länge beträgt jeweils 0,5 (schwarz/graue Streifen).
Das Besondere am goldenen Schnitt ist, dass das Größenverhältnis des kleineren Teils zum größeren genauso groß ist, wie das des größeren Teils zu der ursprünglichen Strecke. Das heißt, der orange Teil verhält sich zum blauen so, wie der blaue Teil zur Summe aus blau und orange.
Rechnerisch ergibt sich:
blau: ~0,618
orange: 1 - 0,618 = ~0,382
orange zu blau: 0,382 / 0,618 = 0,618
blau zu schwarz: 0,618 / 1 = 0,618
Orange zu blau und blau zu schwarz, haben zueinander also dieselbe Proportion.
Die Teilung im goldenen Schnitt kann unendlich fortgesetzt werden. Jeder Teil hat dann zu seinen Teilen dieselbe Proportion. Daher kann auch gesagt werden, der goldene Schnitt ist die Proportion der Unendlichkeit.
Statt der Teilung der Strecke ist auch eine Vergrößerung möglich. Dann muss diese mit 1+0,618 = 1,618 multipliziert werden. Insgesamt entsteht so ein großes Ganzes, dessen Teile als besonders harmonisch erscheinen, weil sie zueinander die gleiche Proportion haben. Das ist nur bei einer Teilung im goldenen Schnitt der Fall.
Zur Verdeutlichung eine weitere Proportion, die häufig in der Architektur verwendet wird, die Dreiteilung (rot/ grüne Streifen).
Wird eine Strecke bei einem Drittel geteilt, ergibt sich rechnerisch:
rot: ~0,33 (1/3)
grün: 1 - ~0,33 = ~0,66 (2/3)
rot zu grün: ~0,33 / ~0,66 = 0,5 (1/2)
grün zu schwarz: ~0,66 / 1 = ~0,66 (2/3) ≠ 0,5
Wie bei der Halbierung haben auch hier die Teile zueinander nicht das gleiche Größenverhältnis, wie der größere Teil zum Ganzen.
Bei einem goldenen Rechteck stehen die Seitenlängen im Verhältnis des goldenen Schnitts. Es entsteht, wenn der Minor eines goldenen Schnitts um 90° gedreht wird.
Ein goldenes Rechteck kann stets in ein Quadrat und ein kleineres goldenes Rechteck zerlegt werden (Mouseover/Tap).
Eine goldene Spirale entsteht, wenn sich der Radius eines Kreises beim Drehen um den Mittelpunkt alle 90° um den Faktor des goldenen Schnitts verkürzt (Mouseover/Tap). Daher ist sie immer von einem goldenen Rechteck begrenzt.
Eine gängige Annäherungskonstruktion ist die vielfache Zerlegung eines goldenen Rechtecks in immer kleinere goldene Rechtecke. In die dabei entstehenden Quadrate wird jeweils ein Viertelkreis in der Art eingezeichnet, dass er einen bestehenden Viertelkreis fortführt (gelbe Kurve).
Alle goldenen Rechtecke teilen sich nur zwei Diagonalen (gestrichelte Linien). Deren Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Spirale. Die Spirale kann statt von außen zum Mittelpunkt hin auch vom Mittelpunkt nach außen gezeichnet werden, d.h. immer weiter vergrößert werden.
Der goldene Schnitt lässt sich nicht nur aus Strecken bilden. Er kann auch auf den Kreis angewendet werden. Der goldene Winkel entsteht, wenn ein Vollkreis von 360° durch die goldene Zahl geteilt wird. Dabei entstehen zwei Winkel: 360° / ~1,618 = ~ 222,5° und 360° - ~222,5° = ~137,5°. Der kleinere der beiden Winkel wird dabei als goldener Winkel bezeichnet (orange). Nicht nur die Winkel, auch die Längen der so entstandenen Kreisbögen stehen zueinander im goldenen Schnitt (Mouseover/Tap).
Pentagon (altgr. 'Fünf (Eck)winkel') ist die altgriechische Bezeichnung für ein 5-Eck. Meist ist damit jedoch ein regelmäßiges 5-Eck gemeint, das heißt eines, in dem alle Seiten gleich lang sind.
Werden die Eckpunkte mit Diagonalen verbunden, entsteht ein Pentagramm (altgr. 'Fünf Linien'), auch fünfzackiger Stern genannt.
Vor allem für Bildkompositionen von Gemälden werden häufig die Winkel des regelmäßigen 5-Ecks genutzt:
In einem regelmäßigen Fünfeck entstehen goldene Dreiecke. Das sind gleichschenklige Dreiecke bei denen die Längen zweier Seiten zueinander im goldenen Schnitt stehen. Es kann nur exakt zwei Formen geben (Mouseover/Tap).
Ein regelmäßiges 5-Eck kann nur in Kenntnis des goldenen Schnitts konstruiert werden. Dafür dürfen in der klassischen Geometrie nur Zirkel und ein unmarkiertes Lineal verwendet werden.
In der Antike und im Mittelalter war die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und damit auch der goldene Schnitt nur einigen wenigen bekannt. Fünfecke galten daher lange Zeit als mystische Geheimzeichen, die nur die verwendeten, die Zugang zu Büchern und Wissen hatten.
Die platonischen Körper sind nach dem antiken Philosophen Platon benannt (4. Jh. v. Chr.), der sie in seinem Buch Timaios beschrieb. Jeder dieser Körper ist aus denselben regelmäßigen Vielecken zusammengesetzt, wodurch sie eine besonders schöne Symmetrie zeigen. Die platonischen Körper sind Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke), Würfel (6 Quadrate), Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke), Dodekaeder (12 Fünfecke), sowie Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke). Aus mathematischer Sicht ist besonders, dass es nur exakt diese fünf Körper geben kann, wenn regelmäßige Vielecke lückenlos aneinandergefügt werden sollen.
Das Dodekaeder ist klar mit dem goldenen Schnitt verbunden, denn es besteht aus 12 regelmäßigen 5-Ecken.
Nicht ganz so offensichtlich zeigt sich der goldene Schnitt auch beim Ikosaeder. Denn jeweils fünf seiner 20 Dreiecke berühren sich in einem gemeinsamen Punkt. Dadurch bilden sie regelmäßige 5-Ecke (blau/orange Linien).
Ein weiterer Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt zeigt sich in der inneren Struktur eines Ikosaeders, d.h. den Strecken zwischen den voneinander entferntesten gegenüberliegenden Ecken. Denn ein Ikosaeder wird aus drei goldenen Rechtecken gebildet, die so in einen Raum gelegt werden, dass je eines nach der x-, y- und der z-Achse ausgerichtet ist, wobei ihr Schwerpunkt in einem gemeinsamen Punkt liegt, dem Mittelpunkt des Ikosaeders (blaue Rechtecke, Mouseover). Werden die Ecken der goldenen Rechtecke verbunden, entstehen alle Eckpunkte der 20 gleichseitigen Dreiecke eines Ikosaeders (graue Linien).
Ein Ikosaeder kommt in der Natur häufig vor, da es von allen regelmäßigen Polyedern – also den fünf platonischen Körpern – eine Kugel mit gegebenem Durchmesser am platzsparendsten ausfüllt. So haben z.B. Proteinhüllen von Viren (Kapside) in den meisten Fällen die Form eines Ikosaeders.
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Der Breitengrad der im Islam bedeutenden Wallfahrtsstadt Mekka mit der Kaaba befindet sich im goldenen Schnitt zwischen Nord- und Südpol (blauer und oranger Kreisbogen). Zur geographischen Einordnung weitere Orte bei Mouseover
Maßstabsgerechte Visualisierung der biblischen Angaben zu den Maßen von Noahs Arche (gen 6, 14-16). Die Höhe von 30 (bzw. 31 Ellen, der höchsten Stelle des Daches) und die Breite von 50 Ellen entsprechen dem Verhältnis des goldenen Schnitts. Die Arche war zehnmal so lang, wie sie hoch war und sechsmal so lang, wie sie breit war. Sie hatte drei Stockwerke und ihr Eingang war an der Seite (hier mittig dargestellt, Mouseover)
Im Börsenhandel wird versucht, unbekannte zukünftige Kursverläufe mit der Analysemethode des Fibonacci Retracements vorherzusagen (Mouseover). Der goldene Schnitt dient dabei der Bestimmung von Unterstützungs- und Widerstandsniveaus in einem Kurschart
Veranschaulichung des goldenen Winkels von 137,5°. Alle 137,5 Grad wird ein größer werdender farbiger Punkt auf einen größer werdenden Radius gesetzt. Was anfänglich chaotisch wirkt, entwickelt sich zu einer mehrarmigen Spirale (hier 13 Arme). Das Muster des goldenen Winkels ist u.a. in Korbblütlerblüten nachweisbar (Mouseover)
Animation IV im Zeitraffer (30-fache Geschwindigkeit)
Animation IV unterteilt in einzelne Schritte und in Zeitlupe (ca. dreifache Dauer)
Mekka ist die Geburtsstadt des Propheten Mohammed. Dort befindet sich das zentrale Heiligtum des Islam, die Kaaba. Die geographische Lage von Mekka ist eng mit dem goldenen Schnitt verbunden.
Mekka befindet sich etwa auf 21,25° nördlicher Breite (grüne Linie), die Kaaba ca. auf 21,42°. Der Abstand von 1 Breitengrad an der Erdoberfläche ist konstant und beträgt ca. 111,7km.
Der Abstand von Mekka zum Südpol (blauer Punkt) beträgt:
(90° + 21,25°) * 111,7km = 12.426,63km (blaue Linie)
Der Abstand von Mekka zum Nordpol (oranger Punkt) beträgt:
(90° - 21,25°) * 111,7km = 7.679,38km (orange Linie)
Beide Strecken stehen zueinander im Verhältnis des goldenen Schnitts:
7.679,38km / 12.426,63 = ~ 0,618
Es ist möglich, dass es sich um eine zufällige Übereinstimmung handelt, da auch viele andere Orte der Erde nahe am goldenen Schnitt zwischen den Polen liegen, z.B. Honolulu auf den Inseln Hawaiis (Breitengrad: 21,3°).
Jeder Ort auf der Welt ist durch Angabe von Breitengrad (Latitude) und Längengrad (Longitude) eindeutig bestimmbar.
Für die Bestimmung des Breitengrades wird eine Linie vom Mittelpunkt der Erde zum Äquator gedacht. Dieser Winkel wurde auf Null festgelegt. Nord- und Südpol liegen nun 90° ober- oder unterhalb des Äquators (nördliche bzw. südliche Breite).
Für die Bestimmung des Längengrades wird in der Draufsicht der Erde eine Linie vom Nord- oder Südpol zum Äquator gedacht. Der Winkel Null wurde 1884 mit dem Nullmeridian festgelegt und verläuft durch Greenwich (England). Jeder Ort auf der Erde befindet sich nun bis zu 180° östlich oder westlich von diesem Ort.
Da der Nullmeridian willkürlich festgelegt wurde und ebensogut durch Tokio oder San Francisco verlaufen könnte, ist der Längengrad im Zusammenhang mit der geographischen Position Mekkas nicht relevant. Anders aber der Breitengrad, der durch Nord- und Südpol der Erde natürliche Bezugsgrößen hat.
Die Erde hat zwei Nordpole. Einen magnetischen Nordpol des Erdmagnetfelds, nach dem sich z.B. eine Kompassnadel ausrichtet. Und einen geographischen Nordpol, der durch die Rotationsachse der Erde bestimmt wird. Die Ausrichtung der Rotationsachse sorgt dafür, dass der Polarstern immer im geographischen Norden liegt. Beide Nordpole wandern, jedoch unterschiedlich schnell, das heißt ihre Position ist nicht fest an einen Ort auf der Erde gebunden.
Der elektromagnetische Nordpol wandert um ein Vielfaches schneller, als der der Rotationsachse. Diese Bewegung varriiert aufgrund physikalischer Prozesse im Inneren der Erde sehr stark. Sie sorgen dafür, dass der elektromagnetische Nordpol aktuell zwischen 0,1° und 0,5° pro Jahr wandert (10km - 50km). Elektromagnetischer Nord- und Südpol der Erde werden daher zukünftig vertauscht sein (Artikel zur Polumkehr, Helmholtz-Gemeinschaft Deutscher Forschungszentren). Da wo heute der elektromagnetische Nordpol liegt, wird in unbekannter Zukunft der elektromagnetische Südpol liegen und umgekehrt. Eine Kompassnadel z.B. zeigt heute nicht mehr auf den geographischen Nordpol der Erdachsenrotation, sondern immer mehr in Richtung des geographischen Äquators, um schließlich auf die Antarktis im geographischen Süden der Erde zu zeigen. Im Lauf der Entwicklungsgeschichte der Erde kam es bereits mehrmals zur Polumkehr. Sie kann sprunghaft und in sehr kurzen Zeitabständen erfolgen. Eine Polumkehr hätte weitreichende Folgen z.B. auf das Klima. Ein Artikel der ESA (European Space Agency) beschreibt das Phänomen.
Der geographische Nordpol der Rotationsachse verändert sich mit etwa 10cm pro Jahr sehr viel langsamer. Das bedeutet, dass er sich in 1000 Jahren um lediglich 100m verschiebt. Er hat seine Ursache in der Präzession der Erde und der ungleichen Verteilung ihrer Massen, z.B. der Ozeane und Kontinente. Der geographische Nordpol ist also eine relativ konstante Größe und dient daher als Grundlage für das Gradnetz der Erde.
Die Maße der Arche Noahs zeigen den goldenen Schnitt.
Noah (auch Noach) ist eine Person des alten Testaments. Seine Geschichte wird zu Beginn von Genesis erzählt, dem ersten Buch der Bibel. Dort rettet er sich und seine Familie, sowie die gesamte Tierwelt in eine Arche, als der biblische Gott alles Leben auf der Erde in einer großen Sintflut vernichtet. Die Arche wird im hebräischen Teyva (תיבה) genannt und bedeutet wörtlich Truhe, Kiste oder Kasten. Ihre Maße werden in der Bibel genannt:
“Mach dir eine Arche aus Zypressenholz! Statte sie mit Kammern aus, und dichte sie innen und außen mit Pech ab!
So sollst du die Arche bauen: Dreihundert Ellen lang, fünfzig Ellen breit und dreißig Ellen hoch soll sie sein. Mach der Arche ein Dach und hebe es genau um eine Elle nach oben an! Den Eingang der Arche bring an der Seite an! Richte ein unteres, ein zweites und ein drittes Stockwerk ein!” (gen 6, 14-16).
Die Arche hatte demnach die Maße des goldenen Schnitts:
Der Zahlwert des goldenen Schnitts φ (Phi) liegt bei ~1,618 bzw. 1/φ = ~0,618. Phi ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Daher konnte der genaue Wert in der Antike nicht berechnet werden. Um dennoch mit irrationalen Zahlen rechnen zu können, wurden sie näherungsweise durch bestimmte Zahlenverhältnisse ausgedrückt. So wurde z.B. die Zahl Pi häufig als 22/7 dargestellt (~3,14). Der Goldene Schnitt hingegen wurde durch zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen ausgedrückt, z.b. 3/5, aber auch 89/144 (s. unten). Um so größer die Fibonacci Zahlen, um so mehr nähern sie sich dem tatsächlichen Zahlwert des goldenen Schnitts an.
Das Fibonacci Retracement (engl. ‘Fibonacci-Spur Rückverfolgung’) ist eine nach dem mittelalterlichen Mathematiker Fibonacci benannte Methode der technischen Analyse, mit der im Börsenhandel versucht wird, in einem Kurschart zukünftige Kursverläufe vorherzusagen. Dafür werden Unterstützungs- und Widerstandsniveaus mit Hilfe des goldenen Schnitts eingezeichnet. Die Fibonacci-Zahlenfolge ist in diesem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt gleichzusetzen, sie steht im direkten Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt (s. unten).
Im professionellen Handel gibt es Tools, die diese Linien automatisiert einzeichnen. Lediglich der Hoch- und Tiefpunkt müssen dafür markiert werden.
Verändert ein Börsenkurs seinen Trend, d.h. einem Allzeithoch folgt eine längere Abwärtsbewegung, vermuten Fibonacci-Händler, dass sich dieser Kursrücklauf an bestimmten Wendepunkten umdrehen wird, nämlich auf einer der Linien des golden Schnitts zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Danach muss es ihrer Meinung nach wieder zu einer Aufwärtsbewegung kommen.
Ganz allgemein kann sich der Kurs im Beispielchart (Mouseover) nur in drei Richtungen entwickeln: oben, unten oder seitwärts (rote, grüne und schwarze gestrichelte Linien). Fibonacci-Händler warten nun ab, bis der Kurs erstmals auf eine Linie des goldenen Schnitts trifft (Linie II, orange) und kaufen dann. Steigt der Kurs wieder, gehen sie davon aus, dass die Aufwärtsbewegung anhält und verkaufen frühestens bei der 100% Marke (Linie I, schwarz). Fällt der Kurs aber weiter, verkaufen sie zunächst mit leichten Verlusten und sind dabei der Meinung, der Kurs müsse jetzt bis zur 61,8% Marke fallen (Linie III, orange). Dort wiederholen sie den Kauf und sind der Meinung, der Kurs müsse nun wieder steigen und dann wieder bis zur 100% Marke. Fällt der Kurs jedoch abermals, verkaufen sie erneut mit minimalen Verlusten. Das Fallen auf die 50% Marke (Linie IV, schwarz) ist im Fibonacci Trading ein Anzeichen für bald steigende Kurse und damit grundsätzlich ein Kaufsignal. Fällt der Kurs deutlich unter die 50% Marke, verkaufen sie erneut und setzen nun nicht mehr auf steigende, sondern auf fallende Kurse. Für Aktienbörsen sind z.B. Leerverkäufe eine Möglichkeit, von fallenden Preisen zu profitieren. Sie sind jedoch sehr risikoreich.
Grundsätzlich können Kursverläufe nicht vorhergesagt werden. Vielmehr wirken so viele verschiedene Faktoren auf die Entwicklung von Börsenkursen ein, dass mit der heute zur Verfügung stehenden Rechenleistung eine präzise Vorhersage nicht möglich ist. Dennoch wird das Fibonacci Retracement häufig auch von professionellen Großinvestoren angewendet. Denn da so viele Händler sich danach richten, kann der Handel auf Basis des Fibonacci Retracements im Sinne einer selbsterfüllenden Prophezeiung funktionieren. Dass es sich um keine zuverlässige Methode zum Vermögensaufbau handelt, wird an der Tatsache deutlich, dass es aktuell keinen langfristig erfolgreichen Investor gibt, der behaupten würde, diese Handelsmethode wäre die Ursache seines Vermögens.
Um einen Mittelpunkt wird ein Winkel von 137,5° gezogen. Der Punkt wird markiert. An diesen ansetzend wird vom Mittelpunkt aus der Winkel erneut gezogen usw. Bei jedem neuen Winkelzug wird der Radius um ein beliebig kurzes Stück verlängert.
Die Zahlen 8, 13 und 21 sind Zahlen der Fibonacci Folge (s. unten). Wird jeder 8., 13. oder 21. Winkel markiert, bilden diese Markierungen ein spiralförmiges Muster. Das spiralförmige Muster tritt nur bei Fibonacci Zahlen auf.
Alle Korbblütlergewächse zeigen den goldenen Winkel. Die Spiralen sind in den Blüten deutlich zu erkennen. Eine solche Verteilung der Blütenblätter sorgt dafür, das auch dicht hinteinander stehende Blütenblätter die maximal mögliche Fläche für die Belichtung erhalten (Mouseover/Tap).
Zu den Korbblütlern gehören z.B. Sonnenblumen, Chrysanthemen, Kamille, Löwenzahn oder auch Kopfsalat.
Der goldene Schnitt ist nur eine von vielen Proportionen, die in der Kunst verwendet werden. Weil er aber aus mathematischer Sicht die schönste Proportion ist, betont er meistens eine oder mehrere Besonderheiten eines Kunstwerks. Der goldene Schnitt tritt daher selten allein auf und wird typischerweise kombiniert mit weiteren Proportionen wie Drittelungen, Viertelungen usw. Durch eine möglichst vielfältige und spannend arrangierte Komposition soll die bestmöglichst interessante Version eines Kunstwerks erschaffen werden.
Der goldene Schnitt wird seit dem Mittelalter in Gemälden verwendet. Er lässt sich in der Bildkomposition, z.B. in der Anordnung der Figuren aufzeigen. Der berühmte Maler Leonardo da Vinci hat sicherlich die beeindruckendsten Kompositionen erschaffen. Er gilt als der beste Maler aller Zeiten und so wundert es nicht, dass auch er den goldenen Schnitt in seinen Gemälden verwendet hat. Oftmals ist zu lesen, der goldene Schnitt wäre hauptsächlich von Renaissance Malern wie Leonardo, Raffael oder Albrecht Dürer verwendet worden. Das ist nicht korrekt, denn der goldene Schnitt lässt über alle neuzeitlichen Epochen hinweg als Teil der Bildkomposition hervorragender Künstler aufzeigen. Damit stellten sie unter Beweis, dass ihre Bildentwürfe nicht nur einer göttlichen Eingebung folgten, sondern dass ihre Kunstwerke zugleich das Werk vernunftbegabter Menschen sind.
Die Erschaffung Adams, Michelangelo, um 1508-1512, Sixtinische Kapelle (Deckengemälde)
Mit proportionalen Teilungen betont Michelangelo zwei Hände und vier Augen der Dargestellten
Erklärung der fünf oberen horizontalen Linien von oben nach unten:
Auch in Bezug auf die Bildhöhe lässt sich die Verwendung der klassischen geometrischen Proportionen aufzeigen (Mouseover). Erklärung der vier vertikalen Linien von links nach rechts:
Der goldene Schnitt wird als eine von vielen Proportionen in der Komposition von künstlerisch wertvollen Fotografien analog zur Malerei verwendet. Dazu sollten die Elemente des Bildmotivs, die sich im goldenen Schnitt befinden sollen, statisch sein, bei bewegten Objekten ist es eine Frage des Timings. Sollen sich Elemente in bewegten, also dynamischen Motiven im goldenen Schnitt befinden, müssen sie meist im Nachgang entsprechend beschnitten werden. Es versteht sich von selbst, dass geometrisch-komplexe Bildkonstruktionen dann entweder zufällig oder schlicht nicht möglich sind.
In der Amateurfotografie bzw. bei dynamischen Motiven (Schnappschüsse) ist es schwer den goldenen Schnitt bei Aufnahmen zu berücksichtigen. Dafür müsste im Bildsucher ein Raster eingeblendet sein, dass das Motiv mit Hilfslinien überlagert. Das Teilungsverhältnis des goldenen Schnitts (~0,618) liegt recht nah an einem weiteren häufig verwendeten Teilungsverhältnis, dem Verhältnis von 2:3 (~0,666). In der Praxis wird daher statt dem schwer abzuschätzenden goldenen Schnitt meist die Drittelregel angewendet. Daher zeigen die Displays von Digitalkameras (beziehungsweise Handys im Fotomodus) meist drei Felder neben- bzw. übereinander an, die die Drittellinien kennzeichnen. Um spannende Bildausschnitte zu erreichen, kann es hilfreich sein, die zu fotografierenden Objekte entlang dieser Drittellinien zu positionieren, statt direkt in der Bildmitte.
Ebensogut könnten statt den Drittellinien auch die Hilfslinien des goldenen Schnitts eingeblendet werden, was einige Hersteller optional unterstützen. Wie für die Malerei gilt auch hier, dass eine Fotografie in ihrer Bildkonstruktion nicht nur eine Proportion zeigen sollte. Vielmehr zeigen professionelle Fotografien ein Zusammenspiel verschiedener Proportionen, um die jeweilige Bildaussage zu unterstützen.
Der goldene Schnitt wird seit der Antike in der Architektur verwendet. Bestimmte Pyramiden in Ägypten sollen diese Proportion aufweisen. Da die Pyramiden durch Erosion und Materialraub über die Jahrtausende ihr Aussehen jedoch stark verändert haben, ist dies nicht mehr zweifelsfrei nachzuweisen. Als älteste gesicherte Belege zur Verwendung des goldenen Schnitts in der Architektur gelten die Bauten der griechischen, sowie der römischen Antike. Der goldene Schnitt ist spätestens seitdem eine der vielen Proportionen die Architekten bei der Konstruktion von Bauwerken nutzen. Er lässt sich in der Fassadengestaltung mittelalterlicher Kirchen aufzeigen, in Renaissance Bauten und ist bis in die heutige Zeit hinein eine der meistverwendeten Proportionen, beim Entwurf bzw. der Proportionierung von Gebäuden.
Wichtig ist die Feststellung, dass der goldene Schnitt nie die einzig verwendete Proportion beim Entwurf eines Bauwerks ist. Vielmehr sind Bauwerke, ebenso wie Gemälde das Resultat vom Zusammenspiel verschiedener Proportionen, wie z.B. Halbierung, Drittelung oder Viertelung. Die Besonderheit des goldenen Schnitts liegt in seiner mathematischen Eigenschaft, immer wieder in sich selbst geteilt werden zu können, wobei seine Teile immer das gleiche Verhältnis zueinander behalten, nämlich das des goldenen Schnitts. Diese Schönheit stellt etwas besonderes und einzigartiges dar, weswegen der goldene Schnitt als Gestaltungselement meist sehr akzentuiert eingesetzt wird, um bestimmte Gebäudeteile, markante Elemente bzw. deren Funktion zu betonen. Beispiele für die Verwendung des goldenen Schnitts sind die Chephren-Pyramide, das Athener Parthenon, der Pariser Eiffelturm und das Hauptquartier der Vereinten Nationen in New York.
Mit der Erfindung des Buchdrucks entstand die Notwendigkeit einheitliche Gestaltungsprinzipien für die Lettern zu entwickeln. Lettern sind einzelne Metall- oder Holzbuchstaben, die auf einer Druckplatte zu Texten angeordnet werden und dann gedruckt werden. Gestaltungsprinzipien für die Lettern sollten zum einen die Lesbarkeit und Ästhetik der gedruckten Buchstaben sicherstellen und zugleich Varianz ermöglichen. Zum anderen sollte durch diese Regeln sichergestellt werden, dass die einzelnen, sich schnell abnutzenden Letter der Druckplatten möglichst einfach reproduziert werden konnten. Aufwändige und besonders kunstvoll gestaltete Lettern mit individuellen filigranen Verzierungen, die nur von speziell ausgebildeten Handwerkern hergestellt werden konnten, waren daher nicht praxistauglich.
Einen ersten bedeutenden Schritt in Richtung einheitlicher Regeln für das Erscheinungsbild von Buchstaben unternahm Luca Pacioli (1445-1517). Als Schüler des herausragenden Renaissancemalers Piero della Francesca, der neben seinen malerischen Werken auch für seine mathematischen Abhandlungen bekannt war, wurde Pacioli einer der herausragenden Mathematiker seiner Zeit, so ist er unter anderem für die erstmalige Veröffentlichung der bahnbrechenden Methode der doppelten Buchführung bekannt. Am Mailänder Hof arbeitete er eng mit Leonardo da Vinci zusammen.
Pacioli veröffentlichte 1509 ein bis heute bedeutendes Buch über den goldenen Schnitt “De Divina Proportione” (dt. ‘Von der göttlichen Proportion’), für das Leonardo Illustrationen anfertigte. Das Buch enthält unter anderem eine Übersetzung von Vitruvs Beschreibung der menschlichen Proportionen, die Leonardo zu der berühmten Zeichnung des Vitruvianischen Menschen inspirierte.
Besonders bemerkenswert ist, dass Pacioli im Anhang seines Buches eine Typographie auf der Grundlage der Geometrie vorschlug. Er empfahl, dass die Gestaltung der Buchstaben den bekannten Proportionen der klassischen Geometrie folgen sollte, wie etwa Halbierung, Drittelung und Goldener Schnitt. Paciolis Vorschläge zur Integration geometrischer Prinzipien in die Typographie hatten eine nachhaltige Wirkung. Seine Gestaltungsregeln sind auch heute noch in Lehrbüchern zur Typographie zu finden.
Der goldene Schnitt wird in der Kunst überall da eingesetzt, wo etwas unterteilt werden soll. Neben den hier gezeigten Beispielen kann er z.B. die Länge eines Films unterteilen, um bestimmte Szenen oder Einstellungen hervorzuheben. In der Musik kann z.B. die Anzahl bestimmter Takte zueinander im goldenen Schnitt stehen oder die Frequenz bestimmter Töne (etwa die Töne C und Gis). In der Dichtung kann die Anzahl der Silben der Zeilen wichtige Inhalte betonen, z.B. durch die Verwendung der Fibonacci Zahlen 3, 5, und 8 für die Anzahl der Buchstaben aufeinanderfolgender Wörter oder der Anzahl der Silben drei aufeinanderfolgender Zeilen.
Der goldene Schnitt wird in der Kunst selten allein eingesetzt, sondern fast immer im Zusammenspiel mit anderen häufig verwendeten Proportionen wie Halbierung, Drittelung und Viertelung. Das Zusammenspiel der Proportionen so zu gestalten, dass das Gesamte zum einen harmonisch wirkt und zum anderen die jeweilige Idee des Kunstwerks unterstreicht, ist eine hohe Kunst und erfordert ein gewisses Maß an Verständnis von Geometrie, sowie die Fähigkeit durch sie eine Erzählung auszudrücken. Weil der goldene Schnitt aus mathematischer Sicht die schönste Proportion ist, betont er meistens eine oder mehrere Besonderheiten eines Kunstwerks.
Umgekehrt heißt das jedoch nicht, dass nur das Kunst ist, was den goldenen Schnitt verwendet bzw. auf andere Art besonders harmonisch proportioniert ist.
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Konstruktion des Goldenen Schnitts nach der Methode des antiken Mathematikers Euklid in eine gegebene Strecke der Länge 1.
Ein goldenes Rechteck entsteht, wenn der kleinere Teil des goldenen Schnitts um 90° gedreht wird (Mouseover)
Die Konstruktion des goldenen Schnitts nach George Odom ist aus mathematischer Sicht sehr schön, weil sie einfach ist (Mouseover)
Für die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks wird die Mittelsenkrechte und der goldene Schnitt einer Strecke benötigt
Annäherungskonstruktion der Goldenen Spirale. Sie hat ihren Ursprung am Schnittpunkt der Diagonalen des größten umgebenden goldenen Rechtecks (Mouseover)
Es gibt verschiedene Methoden den goldenen Schnitt zu konstruieren. Die bekannteste ist die des antiken Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr).
Wird der Minor um 90° gedreht, entsteht ein goldenes Rechteck, das heißt die Seitenlängen stehen im Verhältnis des goldenen Schnitts (Mouseover, oranges Rechteck).
George Odom (1941-2010) war ein US-amerikanischer Künstler und Mathematiker, der sich mit Geometrie und vor allem dem Goldenen Schnitt beschäftigt hat. Am bekanntesten ist die 1982 von ihm entdeckte Methode den goldenen Schnitt mit Hilfe eines gleichseitigen Dreiecks zu konstruieren. Die Lösung ist aus mathematischer Sicht sehr schön, weil sie einfach ist (Mouseover).
Grundidee ist die Berechnung der Länge der Strecke DB bzw. DC über den Satz des Pythagoras für das Dreieck DMC (orange Fläche). Dazu wird die Länge des Radius des Umkreises mit 1 bestimmt (Einheitskreis).
Da nun alle Seitenlängen für das Dreieck DMC bekannt sind (außer die Teilstrecke BC), kann auch hier der Satz des Pythagoras angewendet werden, um BC zu erhalten. Durch Umstellen und Einsetzen ergibt sich:
MC2 = DM2 + (DB + BC)2 | -DM2, Wurzel ziehen, -DB
MC2 - DM2 - DB = BC
12 - 1/42 - sin(60°)/2 = BC
BC = 12 - 1/42 - sin(60°)/2 = ~0,535
Schließlich der rechnerische Nachweis, dass BC und AB zueinander im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen:
1/φ = BC / AB = ~0,618
Die Länge AB ist bekannt, denn aufgrund der Symmetrie des gleichseitigen Dreiecks EHG ist AB das Doppelte von
DB = sin(60°)/2,
so dass AB = sin(60°)/2*2 = sin(60°).
Durch Einsetzen von BC / AB entsteht:
Der goldene Schnitt ist notwendig, um ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren. In einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang.
Gegeben ist eine Strecke AB, die im goldenen Schnitt geteilt wurde (Punkt D). Ebenso ist die Mittelsenkrechte der Strecke notwendig (gestrichelte Vertikale durch den Punkt M, der Übersichtlichkeit wegen wurde hier auf die Konstruktion der Mittelsenkrechten verzichtet).
Werden die fünf Eckpunkte miteinander verbunden, entsteht ein regelmäßiges 5-Eck (dunkelblaue Linien). Die fünf Diagonalen des 5-Ecks bilden einen fünfzackigen Stern. Diese Linien schneiden sich stets im goldenen Schnitt (hellblaue und orange Linien).
Die goldene Spirale wird häufig in einer Annäherungskonstruktion dargestellt.
Die goldene Zahl gibt das Teilungsverhältnis des goldenen Schnitts an. Sie wird meist mit dem 21. griechischen Buchstaben φ (Phi) bezeichnet und hat den gerundeten Wert von 1,618. Die goldene Zahl ist eine irrationale Zahl und damit unendlich. Sie entsteht durch Addieren der Länge des Majors einer im goldenen Schnitt geteilten Strecke der Länge 1 und der Zahl 1, also ~0,618 + 1 = ~1,618.
Der Zahlwert der goldenen Zahl ergibt sich aus der geometrischen Konstruktion des goldenen Schnitts nach Euklid und hat dort die Länge der Strecke AE (Abbildung links). Diese Länge kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, denn die Punkte ABC formen ein rechtwinklinges Dreieck.
Die Länge der Strecken AB und BC sind bekannt, da das Rechteck aus zwei nebeneinanderliegenden Quadraten besteht. Damit ist die Höhe des Rechtecks genau halb so hoch, wie es breit ist. Hier hat das Rechteck die Breite von 1, daher ist es 0,5 hoch.
Die Länge der Diagonale AC ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
AC2 = AB2 + BC2
AC = 12 + 0,52 = 1,25 = ~1,18
Die Länge der goldenen Schnitts ergibt sich durch Abtragen der Strecke AD auf AB.
Die Länge der Strecke AD ist bekannt durch AD = AC - DC, denn DC ist wie BC der Radius des Kreises um C und hat daher die Länge von 0,5.
Die Länge von AD und damit des goldenen Schnitts beträgt also:
1/φ = AC - DC = ~1,18 - 0,5 = ~0,618
Verwirrenderweise wird die Breite des Rechtecks häufig nicht mit 1, sondern mit 2 angegeben. Dadurch verändert sich auch die Höhe des Rechtecks von 0,5 zu 1. Dieselbe Rechnung mit den neuen Werten:
AC = 22 +12 = 5
AD = 5 - 1 = ~1,236
Um auf das ursprüngliche Zahlenverhältnis des goldenen Schnitts für ein Rechteck mit der Breite von 1 zu kommen, muss dieser Wert durch 2 dividiert werden (Mouseover/Tap). Zwar teilt die Strecke AE die Strecke AB im goldenen Schnitt, jedoch hat diese die Länge 2 und gesucht ist der goldene Schnitt der Länge 1. Folglich muss AE im Punkt M geteilt werden, was zu der gesuchten Größe von 0,618 führt (Mouseover/Tap, gelber Punkt). Rechnerisch ergibt sich folgendes:
AD = (5- 1) / 2 = ~0,618
Aus der geometrischen Überlegung heraus ist offensichtlich, dass diese Methode einen Schritt mehr benötigt. Dass sie dennoch die populärere Variante ist, kann nur dadurch erklärt werden, dass
1/φ = (5 - 1) / 2 angenehmer zu lesen ist, als
1/φ = 1,25 - 0,5 aus der vorherigen Rechnung
Darstellung der goldenen Zahl auf einem Zahlenstrahl von 0 bis 3. Es ist gut zu erkennen, dass φ sich aus 1 und dem Wert des goldenen Schnitts von 1 ergibt, der ungefähr bei 0,618 liegt.
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
Der Zusammenhang von Fibonacci Zahlen und dem goldenen Schnitt. Die Seiten eines Rechtecks mit zwei aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci Folge formen ein Rechteck, dass sich immer mehr den Proportionen des goldenen Rechtecks annähert.
Im Pascalschen Dreieck ist die Fibonacci Folge enthalten. Das wird am deutlichsten, wenn statt der zentrierten Darstellung das Dreieck linksbündig dargestellt wird (Mouseover). Die Fibonacci Zahlen ergeben sich aus der Summe der Zahlen, die auf dem 45° Winkel liegen
Die Fibonacci Folge ist nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (um 1170-1240) benannt. Die Zahlenfolge ergibt sich, wenn die letzten zwei bekannten Zahlen der Folge miteinander addiert werden und diese Summe der Folge hinzugefügt wird, beginnend mit Null und Eins.
Die Fibonacci Folge steht im unmittelbaren Zusammenhang zum Goldenen Schnitt, da das Ergebnis der Division zwei aufeinanderfolgender Zahlen dieser Reihe sich stetig dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts ~0,618 annähert.
| Rechnung | Fibonacci Folge | Teilungsverhältnis |
| – | 0,1 | 0/1 = 0 |
| 0 + 1 = 1 | 0,1,1 | 1/1 = 1 |
| 1 + 1 = 2 | 0,1,1,2 | 1/2 = 0,5 |
| 1 + 2 = 3 | 0,1,1,2,3 | 2/3 ≈ 0,666 |
| 2 + 3 = 5 | 0,1,1,2,3,5 | 3/5 = 0,6 |
| 3 + 5 = 8 | 0,1,1,2,3,5,8 | 5/8 = 0,625 |
| 5 + 8 = 13 | 0,1,1,2,3,5,8,13 | 8/13 ≈ 0,615 |
| ... | ||
| 89 + 144 = 233 | 0,1,1,...,144,233 | 144/233 ≈ 0,6180 |
Die Bezeichnung Pascalsches Dreieck geht auf den Naturwissenschaftler Blaise Pascal zurück (1623-1662).
Dabei ergeben sich die Zahlen des Dreiecks derart, dass jede Zahl die Summe der zwei darüberliegenden Zahlen ist. Gibt es nur eine Zahl, ist die andere 0 (für die Zahlen am äußeren Rand des Dreiecks). Begonnen wird an der oberen Spitze des Dreiecks mit dem Setzen der Zahl 1.
Das Pascalsche Dreieck wurde in der zentrierten Darstellung hauptsächlich dazu benutzt, beliebige Potenzen von Binomen aufzulösen, z.B.
(a+b)2 = 1a2 + 2a1b1 + 1b2
1, 2 und 1 entsprechen den Zahlen der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks. Die Zahlen der darauffolgenden vierten Reihe (1,3,3,1) können für das Auflösen der dritten Potenz des Binoms (a+b) verwendet werden, also für
(a+b)3 = 1a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1b3
usw.
Das Pascalsche Dreieck kann auch linksbündig dargestellt werden (Mouseover). Dadurch werden die darin enthaltenen Zahlenfolgen besser ablesbar.
2. Spalte: die natürlichen Zahlen
3. Spalte: die Dreieckszahlen
4. Spalte: die Tetraederzahlen
Die Fibonacci Zahlenfolge ergibt sich aus der Summe der Zahlen, die auf einer Diagonale von 45° liegen, wenn das Dreieck linksbündig dargestellt wird (Mouseover/Tap).
Das größte Vergnügen ist die Erkenntnis
