Euklidische Geometrie

Gleichseitiges Dreieck und Quadrat haben ihren Ursprung in zwei gleich großen Kreisen, die entlang einer Geraden so verschoben wurden, dass der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten ihrem Radius entspricht.
Gleichseitige Dreiecke: Die Schnittpunkte der beiden Kreise mit der Geraden bilden die Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke (schwarze Dreiecke, Mitte). Diese entstehen durch die Verbindung der Schnittpunkte mit den Mittelpunkten der Kreise.
Quadratkonstruktion: Werden die beiden Schnittpunkte der Kreise verbunden, so entsteht eine Linie, die als Durchmesser eines kleineren Kreises dient (schattierter Kreis). Die Schnittpunkte dieses kleineren Kreises mit den beiden größeren Kreisen sowie der Geraden definieren die Eckpunkte eines Quadrats (grau schattiert, Mitte).
Längenverhältnisse: Die Linie, die die Schnittpunkte der großen Kreise verbindet (graue Vertikale, Mitte), entspricht der Länge des doppelten Sinus von 60°. Diese Linie teilt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise, der dem Radius entspricht, in zwei gleich große Teile, entsprechend dem Kosinus von 60°. Diese Teilung erfolgt bei einem Viertel und drei Vierteln des Durchmessers entlang der Mittelpunktslinie.
Konstruktion eines Sechsecks und Zwölfecks: Von den Schnittpunkten der beiden Kreise lässt sich eine Linie zu ihrem Schnittpunkt mit der Geraden ziehen. Es entsteht ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Spitzenwinkel 120° beträgt. Da wo dieses Dreieck den inneren Kreis schneidet, entsteht ein regelmäßiges Sechseck (schwarz).
Durch die Verlängerung der Konstruktion mit zusätzlichen Kreisen, deren Mittelpunkte um jeweils eine Radiuslänge entlang der Geraden verschoben werden (Mouseover), lassen sich die Schnittpunkte der vier Kreise nutzen, um parallele Linien zu ziehen. Diese Konstruktion erzeugt ein regelmäßiges Zwölfeck. Die Schnittpunkte der beiden mittleren Kreise bilden dabei das Zentrum dieser Zwölfecke (schwarze Sterne).
Mit dieser Methode, unter Verwendung von nur zwei Kreisen und gegebenenfalls zwei zusätzlichen Hilfskreisen, können regelmäßige 3-, 4-, 6- und 12-Ecke konstruiert werden. Die notwendigen Kreise erzeugen insgesamt sieben relevante Schnittpunkte auf der Geraden.